Problema de Teoría de decisiones - Teoría de juegos

Problema: 

Aarón ha inventado un nuevo juego de cartas para jugar con Bobby durante los largos meses de invierno. El nuevo juego utiliza 5 cartas diferentes de la baraja: Un jugador tiene el as (A), el rey (K), la reina (Q), el 10 y el 5 de corazones; y el otro jugador tiene también 5 cartas con los mismos valores, pero de diamantes. La jugada consiste en que cada jugador elige una de sus cinco cartas y ambos muestran simultáneamente la carta elegida. Después de hecho esto, consultan en la matriz siguiente cuántos puntos han obtenido.                                       

                                                

                         Bobby

		A	K	Q	10	5
	A	2	-4	3	-3	5
Aarón	K	-3	-1	2	-2	-1
	Q	4	1	-3	3	-5
	10	1	0	2	-4	3
	5	3	2	4	-1	6

a)      ¿Qué estrategias debería utilizar cada jugador? ¿Con qué probabilidad debe usar cada estrategia?

b)      ¿Cuál es el valor del juego? ¿Quién es el ganador?       

SOLUCIÓN:

a) Estrategias:

.Estrategias del jugador 1 (Aarón)

A1 = Elegir la carta A de corazones

A2 = Elegir la carta K de corazones

A3 = Elegir la carta Q de corazones

A4 = Elegir la carta 10 de corazones

A5 = Elegir la carta 5 de corazones

.Estrategias del jugador 2 (Bobby)

B1 = Elegir la carta A de diamantes

B2 = Elegir la carta K de diamantes

B3 = Elegir la carta Q de diamantes

B4 = Elegir la carta 10 de diamantes

B5 = Elegir la carta 5 de diamantes

Matriz de pagos para el jugador 1

 

	B1	B2	B3	B4	B5	Maximin
A1	2	-4	3	-3	5	-4
A2	-3	-1	2	-2	-1	-3
A3	4	1	-3	3	-5	-5
A4	1	0	2	-4	3	-4
A5	3	2	4	-1	6	-1
Minimax	4	2	4	3	6

 

No hay punto de silla =>  V < -1, 2 >

 A5 domina A4

A5 domina A2

A5 domina A1

B2 domina B1

	Y2	Y3	Y4	Y5
X3	1	-3	3	-5
X5	2	4	-1	6

Estrategia pura del jugador 2	Pago esperado del jugador 1
Y2	1X3 + 2*(1-X3) = 2-X3
Y3	-3X3+4*(1-X3) = 4 – 7X3
Y4	3X3 – 1*(1-X3) = -1 + 4X3
Y5	-5X3 + 6*(1-X3) = 6 – 11X3

 

 

                     

                       Conociendo que el jugador 1 aplica el criterio maximin

Y3 = Y4   (Y2 = 0, Y5=0)

4 – 7X3 = -1 + 4X3 =>  X3=5/11  y X5 = 6/11

                       

                        V = 4 – 7X3 = 4 – 7*5/11 = 9/11 = 0.818

                                   

	Y3	Y4
X3	-3	3
X5	4	-1

Estrategia pura del jugador 1	Pago esperado del jugador 2
X3	-3Y3 + 3*(1-Y3) = 3 – 6Y3
X5	4Y3 -1*(1-Y3) = -1 +5Y3

 

                       

 

 3 – 6Y3 = V = 9/11 => Y3 = 4/11 y Y4 = 7/11

 

b) V = 9/11 = 0.818 a favor del jugador 1 (Aaron)